Láminas 3º ESO: Polígonos II

  Aquí tenéis la segunda de las láminas referente a los polígonos, con los casos que faltaban en la anterior.
  Para esta lámina lo que os pido es realizar polígonos cóncavos, también llamados polígonos estrellados o estrellas del número de puntas igual a los lados pedidos. Os recuerdo cuál es elprocedimiento:

  En lugar de unir los vértices consecutivos, sería saltándonos uno o dos vértices, según cada caso, originándonos polígonos de 1ª o 2ª especie.

   Tened cuidado porque no todos los polígonos tienen estrellado, por ejemplo el hexágono no tiene, puesto que lo que se obtiene son dos triángulos equiláteros superpuestos.
  Con el octógono también hay que tener especial atención, ya que si nos saltamos uno, lo que obtenemos son dos cuadrados también superpuestos, por lo que habrá que saltarse 2 o tres.

  Un truco: el vértice a partir del cual se empieza a trazar, es el mismo en el que hay que terminar. Si no levantásemos el lápiz del papel, se podría dibujar sin problemas.

  En clase vimos que el heptágono tiene dos polígonos estrellados, uno uniéndo de dos en dos, y otro, uniendo de tres en tres, dibujad aquí cualquiera de los dos.

  El método para dibujar los poligonos es el mismo, ya sean cóncavos o convexos, la diferencia está a la hora de unirlos.

  Así, que manos a la obra y a dibujar.

Lámina 3º ESO: Polígonos I

   Seguimos con las tradicionales láminas, pronto realizaremos ejercicios más creativos  y originales. Esto es como la pretemporada de un equipo, o el físico. Es fundamental para que cuando llegue el partido aguantemos los 90 minutos, y que lo ensayado funcione. No es la parte más divertida del dibujo pero es fundamental.

  Son dos las formas como nos pueden dar los datos, una conocido el lado, otra conocido el radio de la circunferencia que circunscribe al polígono.

  En esta lámina vamos a dibujar polígonos regulares convexos, es decir, los polígonos normales. En otra lámina distinta a esta realizaremos polígonos cóncavos, o también llamados, estrellados.

  Para mayor comodidad, las circunferencias que circunscriben a los polígonos aparecen ya dibujadas.

  Os recuerdo los pasos de la construcción de alguno de los polígonos:

• Pentágono conocido el lado:
• Se dibuja la mediatriz al lado
• Se levanta una perpendicular por un extremo del lado igual a la medida del lado, y al punto hallado lo llamamos "S"
• Se hace centro en el punto medio del lado, "M", y con radio igual a la distancia que separa el punto "M" del "S", se traza un arco de circunferencia que nos cortará a la prolongación del lado en un punto, llamado "T".
• Con centro en el otro extemo del lado y radio igual hasta "T", se traza un arco que nos cortará a la mediatriz en un punto que llamaremos "D", y que será el vértice superior del pentágono.
• Sólo falta hacer centro en este punto "D" y en los extemos del lado dado con radio igual al lado, donde se corten estarán los vértices que faltan.
• Se unen, y ya está dibujado el pentágono.
• Pentágono conocido el radio de la circunferencia que lo circunscribe:
• Dibujada la circunferencia con el radio dado, se trazan dos diámetros perpendiculares: "AB" y "CD"
• Se halla la mediatriz de uno de los radios: "M"
• Hacemos centro en el punto medio del radio que hemos hallado, "M", y con radio igual a la distancia que lo separa del extremo del diámetro que es perpendicular, "MA", trazamos un arco de circunferencia que nos cortará al diámetro en el que está "M" en un punto que llamaremos "T".
• La distancia "AT" es igual al lado del pentágono que estamos buscando. Ya basta con poner cinco veces la medida en la circunferencia: empezamos por hacer centro en "A" con la medida del lado hallado y hacemos centro en cada nuevo punto hallado en la circunferencia.
• Se unen, y ya está dibujado el pentágono.

Lámina 4º de ESO: Cuadriláteros

 Esta es la última de las láminas que vamos a ver en este primer trimestre. Es una lámina combinada de cuadriláteros y triángulos. No es difícil. Recordad que las propiedades y características de los cuadriláteros son esenciales para la correcta ejecución de cada polígono.

Láminas 3º ESO: Cuadriláteros

Seguimos con los polígonos básicos, en este caso con los cuadriláteros. Recordemos que son formas planas limitadas por cuatro lados, cuya suma de ángulos interiores es 360º. Se clasifican en paralelogramos, cuando tienen lados paralelos dos a dos, trapecios, con dos lados solamente paralelos y trapezoides, con todos sus lados no paralelos. Son los siguientes:

• Cuadrado: Tiene todos sus lados y ángulos iguales. Sus diagonales son iguales y perpendiculares, y se cortan en sus puntos medios. Es el polígono regular de cuatro lados
• Rectángulo: Tiene lados iguales dos a dos, y todos sus ángulos iguales. Sus diagonales son iguales y no perpendiculares, y se cortan en sus puntos medios. Es un polígono semirregular.
• Rombo: Tienen todos sus lados iguales y ángulos iguales dos a dos. Sus diagonales son perpendiculares y desiguales, y se cortan en sus puntos medios. Es un polígono semirregular.
• Romboide: Tiene lados y ángulos iguales dos a dos. Sus diagonales son desiguales y no perpendiculares, y se cortan en sus puntos medios. Es un polígono semirregular.
• Trapecio: Tiene dos lados paralelos, que reciben el nombre de bases. Sus diagonales serán en función del tipo de trapecio:
• Trapecio isósceles: Los lados no básicos son iguales, y las diagonales iguales y no perpendiculares.
• Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos de 90º. Diagonales desiguales y no perpendiculares.
• Trapecio escaleno: todos los lados, ángulos y diagonales son desiguales.
• Trapezoide: Tiene todos sus lados, ángulos y diagonales desiguales

     Este es un cuadro resumen:

   Aquí os dejo las dos láminas de cuadriláteros.

2º bachillerato: Homología y Afinidad

 Aunque ya vimos la semana pasada láminas sobre geometría proyectiva aplicada a formas poligonales, en este caso
nos hemos centrado en la homología y en la afinidad de la circunferencia, así como en la transformación homológica de un polígono. Es por ello por lo que vamos a hacer unas láminas nuevas centradas en estos aspectos. 

  Como ya hemos comentado en clase, en los ejercicios de Selectividad no son necesarias las Rectas Límites, por lo que la transformación de una circunferencia en parábola o en hipérbola, aunque las hemos visto en clase, no os las voy a pedir. Aquí tenéis sólo cuatro láminas para entregar el martes de la semana que viene.

  Ánimoooooooo

Láminas 4º ESO: Triángulos

 

    Vamos a hacer tres láminas de triángulos, tendréis que pensar un poquito, palabra "prohibida", pensar... ya que los datos no son exactamente como los hemos visto en clase. 

    Os recuerdo que la gran mayoría de los ejercicios se resuelven por intersección de lugares geométricos, y por las propias características del polígono en cuestión, y de los segmentos y puntos notables que forman parte de ellos.

Para que tengáis presente, hago un breve repaso:

• Altura: perpendicular al lado por el vértice opuesto.
• Ortocentro (H): intersección de las alturas
• Mediana: segmento que une la mitad de un lado con el vértice opuesto.
• Baricentro (G): intersección de las medianas, divide a cada mediana en 2/3 hacia el vértice y 1/3 hacia el lado respecto al cual es mediana.
• Bisectriz: cada una de los ángulos del triángulo.
• Incentro (I): intersección de las bisectrices, centro de la circunferencia inscrita.
• Mediatriz: cada una de las de los lados.
• Circuncentro (C): intersección de las mediatrices, centro de la circunferencia circunscrita

Láminas 3º ESO: Triángulos

   Sirva esta lámina como resumen de todos los casos de triángulos que vemos en clase. Ahora recordamos algunas de las características de cada triángulo, para que sea más fácil la construcción:

   Los triángulos se clasifican según cómo sean sus lados en los siguientes:

• Triángulo equilátero: Tiene todos sus lados y ángulos iguales.
• Triángulo isósceles: Tiene un lado y un ángulo desigual y los otros dos lados y ángulos iguales.
• Triángulo escaleno: Tienen todos sus lados y ángulos desiguales.

    También existe una clasificación según sus ángulos, de tal forma que tenemos:

• Triángulo acutángulo: Cuando todos sus ángulos son menores de 90º
• Triángulo obtusángulo: Cuando tiene un ángulo mayor de 90º
• Triángulo rectángulo: Cuando tiene un ángulo de 90º, los lados que conforman ese ángulo se denominan catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

    Pues bien, vamos a realizar una lámina con cinco ejercicios, en los que me dan los lados basta con hacer centro ("pinchar") en el vértice con el radio igual al lado del triángulo que queramos poner.

   En el caso del triángulo conocido el radio de la circunferencia circunscrita, se comienza dibujando la circunferencia, y trazando un diámetro vertical, haciendo centro en el extremo del diámetro, con el radio dado, se dibuja un arco de circunferencia que me cortará a ésta en dos puntos, si los unimos, ese es el lado del triángulo equilátero.

  En el del triángulo rectángulo, tened cuidado, los datos que os dan son un cateto y la hipotenusa, tenéis que hallar el otro cateto.

   Aquí tenéis la lámina, se llama TRIÁNGULOS:

2º Bachillerato: Geometría proyectiva

 Ya estamos en la geometría proyectiva, vamos a realizar una serie de ejercicios de Homología y de Afinidad. Tenéis que tener en cuenta que a la afinidad también se le llama Homología afín. Tened en cuenta que los puntos homólogos o afines se cortan en una recta de puntos dobles llamada Eje de homología o de afinidad. Ahí está la clave de muchas de las resoluciones de las láminas.

    Os pongo las láminas y a dibujar...

Láminas 3º ESO: ÁNGULOS

     El tema que comenzamos ahora es el de los ángulos. Veremos bisectriz de ángulo rectilíneo, suma y resta de ángulos, la bisectriz de dos rectas que se cortan fuera de nuestro papel y de un ángulo curvilíneo. Además tenemos que copiar tres ángulos, trazado fundamental para llevar a cabo ejercicios más complejos.

    Tened cuidado que en el mismo ejercicio tenéis que sumar y resta los mismos ángulos. La solución la marcáis con un arco con 0.8 abarcando los lados del ángulo resultante de la suma y de la resta. Es un sólo ejercicio, pero hay que hacer dos dibujos.

    

     Os recuerdo que hay que repasarlo a tinta, con la regla, los trazados auxiliares con 0.2, las letras y el texto a 0.4, y la solución a 0.8.

     La única solución que hay que realizar a mano alzada es la bisectriz del ángulo curvilíneo.

    En cuanto a la copia de ángulos, os recuerdo que vamos a usar el compás en los dos casos, como instrumento de trazado y de medida. Os dejo un vídeo sencillito, para recordar lo que hemos visto en clase:

Láminas 3º ESO: Trazados básicos

Seguimos con los trazados básicos.

De todos los que vamos a ver, los más importantes son: La mediatriz y la división de un segmento en un número de partes iguales, lo que conocemos como Teorema de Thales.

Recordemos la definición de mediatriz: conjunto de puntos (lugar geométrico) del plano que están a la misma distancia (equidistan) de los extemos de un segmento. Como consecuencia de ello divide al segmento en dos partes iguales, es decir, por la mitad, y también hay que decir que es perpendicular al segmento del cual es mediatriz.

Por otro lado, mencionamos que el dibujo es mucho más exacto que la calculadora a la hora de dividir cualquier segmento en un número de partes iguales, sea o no divisible, ya que la regla milimetrada sólo tiene centímetros y milímetros, pero no más decimales. Es por ello que en dibujo utilizamos este procedimiento, que dice así: Dos segmentos concurrentes guardan la misma relación que la que hay entre sus partes. Esto es, si las partes de un segmento son iguales entre sí, y establecemos la misma relación entre las partes que la que hay entre el todo de ambos segmentos, podemos hallar partes iguales en el otro.

Si nos dicen que dividamos un segmento en un número de partes en concreto, seguimos los siguientes pasos:

1. Trazamos un segmento, divisible por el número que me piden, concurrente, que se corte, con un extremo del segmento dado.
2. Unimos los dos extremos no concurrentes.
3. Dividimos en partes iguales el segmento divisible.
4. Dibujamos paralelas a la línea que unía los extremos por cada una de las divisiones.
5. Marcamos la intersecciones de esas paralelas con el segmento dado.

Antes de pasar a ver la lámina, hay que decir que el segmento concurrente puede ser también una semirrecta concurrente sobre la que tracemos, con la ayuda de un compás, una medida igual tantas veces como haya que dividirlo, siendo la última de ellas la que unimos con el extremo del segmento.

2º bachillerato: Triángulos y Cuadriláteros

 Comenzamos este curso con los polígonos, en esta ocasión vamos a realizar algunos ejercicios de triángulos y cuadriláteros. Os recuerdo que tenemos que seguir aplicando lo que sabemos de cada uno de ellos, además de la regularidad que tiene cada uno. 

Algunas de las construcciones las hemos visto en clase este año o el pasado, pero otras se obtienen de aplicar la lógica, de razonar un poquito.

Pues aquí tenéis tres láminas solamente:

Láminas 3º ESO: Paralelas y perpendiculares

    Hay trazados que son fundamentales para poder realizar ejercicios posteriores mucho más complejos. Por ello esta lámina intenta empezar a crear hábitos de trabajo, relacionados con el uso del material, básicos.

    A partir de un cuadro de Piet Mondrian, un pintor holandés de finales del siglo XIX y principios del siglo XX, 1872-1944, llamada Composición 1902, tenemos que ir trazando con la escuadra y el cartabón, cuadrados y rectángulos, no trapecios o trapezoides, es decir, hay que trazar rectángulos, con lados iguales dos a dos, y cuadrados, con los cuatro lados iguales. Se repasa a tinta las líneas con el máximo grosor: 0.8, y utilizando las distintas durezas del grafito se rellenan con distintos tonos de grises. Se tiene que dejar un cuadrado en blanco y uno en negro.

 Recuerdo la norma del dibujo de paralelas: Se dibuja con la hipotenusa de la escuadra y se apoya en la hipotenusa del cartabón.

   Tened cuidado con mover las reglas, en especial el cartabón. ¡¡Cuidadín!!

   Se dibuja primero con la mina dura: 2H, y después se repasa con el rotulador 0.8.

   El cajetín se ha de completar con el tipo de letras que aquí estamos viendo, se realiza primero a lápiz y después a tinta, a 0.4. NO SE REALIZA CON BOLÍGRAFO.

   Os dejo un vídeo de PdD en el que se explica cómo realizar las paralelas y las perpendiculares

 

2º de Bachillerato: Tangencias

       Pasamos a las tangencias, en este caso ya de una complejidad mayor. Os recuerdo que casi todas se resuelven por intersección de lugares geométricos. Es cierto que hay algún caso que se resuelve aplicando potencia o inversión.

    Es FUNDAMENTAL señalar los puntos de tangencia. Si no es así el ejercicio puede no valorarse, ya que no vale la "técnica del punto gordo" o "arrimarse un poquito". Tiene que ser exacto el punto de tangencia.

      Aquí os dejo las láminas:

Láminas de repaso: 2º Bachillerato

     Comenzamos un nuevo curso, que espero podamos terminar con normalidad, y vamos a practicar lo que hemos visto en clase, además hay ejercicios que nos ayudan a pensar, y que no son directamente una copia de lo expuesto. 

    

    Todo lo que te propongo es de repaso de 1º de bachillerato, únicamente incluyo algún que otro ejercicio propio de 2º. Es muy común olvidarse que en la PAU entra todo lo impartido durante los dos años de bachillerato, por lo que trazados básicos como los que estamos viendo no se recuerdan en 2º. De ahí que nosotros incluyamos en nuestros ejercicios y pruebas lo trabajado en el curso anterior. 

     Quiero hacer hincapié en lo importante de estos trazados, ya que son la base para posteriores ejercicios de mayor complejidad, si comentemos errores en la ejecución de estos trazados, seguro que la resolución final será errónea, o al menos, inexacta. 

   Recuerda que hay que repasar los dibujos a tinta, así nos vamos entrenando en la limpieza, en el orden y en la exactitud que requiere cualquier representación técnica. Los grosores a utilizar son los siguientes: 

• Trazados auxiliares: 0.2
• Letras y textos: 0.4
• Soluciones: 0.8

     No olvides rellenar el cajetín con tu nombre, pasarlo a tinta (0.4) con letra clara y legible.

    Por último, ten en cuenta que casi todos los ejercicios se resuelven por intersección de lugares geométricos.

 

1º bachillerato: Láminas de Recuperación

     Bueno, pues vamos con las actividades de recuperación que estabais esperando, espero que hayáis descansado y cogido fuerzas para estudiar este verano, que es lo que toca, desgraciadamente. De todas formas, podéis dibujar y descansar, con que hagáis una cada día será suficiente y os sobrará tiempo. Debéis dibujar para asentar los contenidos adquiridos y para resolver las dudas que os surjan.

    Mucho ánimo y a dibujar, que a dibujar se aprende dibujando, y las piezas tomároslo como un crucigrama o un rompecabezas.